Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme

$N_{k}={\frac {\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}{32}}={\frac {\left(\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}}{32}},\quad k\in \mathbb {N} ^{*}.$

Par exemple, $N_{2}=36=6^{2}={\frac {8\times 9}{2}}$.

La suite $(N_{k})$ est répertoriée comme suite A001110 de l'OEIS, et si l'on pose $N_{k}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}=s_{k}^{2}$, les suites $(t_{k})$ et $(s_{k})$ sont respectivement répertoriées comme suite A001108 de l'OEIS et comme suite A001109 de l'OEIS.

Démonstration

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante.

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s², c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

$x^{2}-2y^{2}=1.$

Les solutions sont données par

$x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})^{2k},$

soit

$x_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2}}\quad {\rm {et}}\quad y_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{2{\sqrt {2}}}}.$

On trouve donc

$t_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}+(1-{\sqrt {2}})^{2k}-2}{4}}\quad {\rm {et}}\quad s_{k}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}}{4{\sqrt {2}}}},$

d'où la valeur annoncée pour N_k = s_k².

Valeurs numériques

k	Nk	sk	tk	tk/sk
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,3…
3	1 225	35	49	1,4
4	41 616	204	288	1,411…
5	1 413 721	1 189	1 681	1,413…
6	48 024 900	6 930	9 800	1,4141…
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420…
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1,414211…
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1,4142132…

Propriétés

• Lorsque $k$ tend vers l'infini, le rapport

${\frac {t_{k}}{s_{k}}}={\frac {x_{k}-1}{y_{k}}}\sim {\frac {x_{k}}{y_{k}}}$

tend vers la racine carrée de deux et

${N_{k+1} \over {N_{k}}}={s_{k+1}^{2} \over s_{k}^{2}}\to (1+{\sqrt {2}})^{4}.$

• Les suites $(t_{k}+1/2)$ et $(s_{k})$ vérifient la relation de récurrence linéaire double : $u_{k+2}=6u_{k+1}-u_{k}$.

Équations diophantiennes apparentées

Nombres triangulaires égaux au double d'un nombre triangulaire

L'équation diophantienne s'écrit : (2) ${\frac {p(p+1)}{2}}=q(q+1)$.

En posant ${\begin{cases}p=2s-t-1\\q=t-s\end{cases}}$, on retombe sur l'équation (1) ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$.

Les solutions de (2) sont donc données par ${\begin{cases}p_{k}=2s_{k}-t_{k}-1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2}{4}}\\q_{k}=t_{k}-s_{k}={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}-2{\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}\end{cases}}$.

La suite $(p_{k})$ débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; suite A001652 de l'OEIS.

La suite $(q_{k})$ débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; suite A053141 de l'OEIS.

L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques.

Nombres carrés centrés qui sont aussi des carrés

Il s'agit de l'équation (3) $(n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}$. Comme $m$ est forcément impair, on peut poser $m=2q+1$ et l'équation (3) s'écrit alors $n(n-1)=2q(q+1)$, ce qui redonne l'équation (2) en posant $n=p+1$.

Les solutions de (3) sont donc données par ${\begin{cases}n_{k}=p_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}-({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}+2}{4}}\\m_{k}=2q_{k}+1={\frac {({\sqrt {2}}+1)^{2k-1}+({\sqrt {2}}-1)^{2k-1}}{2{\sqrt {2}}}}\end{cases}}$.

La suite $(m_{k})$ débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; suite A001653 de l'OEIS.

Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular square number » (voir la liste des auteurs)

, renommé « Square triangular number » en août 2005.