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En théorie des nombres , la valuation p -adique ou l'ordre p -adique d'un entier n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n . Il est noté
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(n)}
. De manière équivalente,
ν
p
(
n
)
{\displaystyle \nu _{p}(n)}
est l'exposant auquel
p
{\displaystyle p}
apparaît dans la factorisation première de
n
{\displaystyle n}
.
La valuation p -adique est une valuation donnant lieu à un analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue habituelle aboutit aux nombres réels
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, l'extension des nombres rationnels par rapport au
p
{\displaystyle p}
-adique la valeur absolue donne les nombres p -adique
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
[ 1] .
Distribution des nombres naturels par leur valorisation 2-adique, étiquetée avec les puissances correspondantes de deux en décimal. Zéro a une valeur infinie.
Soit p un nombre premier .
La valorisation p -adique d'un entier
n
{\displaystyle n}
est défini comme étant
ν
p
:
Z
⟶
N
∪
{
∞
}
n
⟼
{
max
(
{
k
∈
N
|
p
k
∣
n
}
)
,
si
n
≠
0
∞
si
n
=
0
{\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} |p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}}
N
∗
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}
désignant l'ensemble des nombres naturels et
m
∣
n
{\displaystyle m\mid n}
désignant la divisibilité de
n
{\displaystyle n}
par
m
{\displaystyle m}
[ 2] .
Par exemple, prenons
12
{\displaystyle 12}
, qui à la valeur absolue est égale à
|
−
12
|
=
12
=
2
2
⋅
3
1
⋅
5
0
{\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}
, alors on a que
ν
2
(
−
12
)
=
2
{\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}
,
ν
3
(
−
12
)
=
1
{\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}
, et
ν
5
(
−
12
)
=
0
{\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}
.
Parfois la notation
p
k
∥
n
{\displaystyle p^{k}\parallel n}
est utilisé pour signifier
k
=
ν
p
(
n
)
{\displaystyle k=\nu _{p}(n)}
[ 3] .
Si
n
{\displaystyle n}
est un entier positif, alors
ν
p
(
n
)
≤
log
p
n
{\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}
car parr définition :
n
≥
p
ν
p
(
n
)
{\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}
.
La valuation p -adique peut être étendue aux nombres rationnels par l'application définit par[ 4] , [ 5]
ν
p
:
Q
⟶
Z
∪
{
∞
}
r
s
⟼
ν
p
(
r
)
−
ν
(
s
)
{\displaystyle \nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{(}s)\end{matrix}}}
.
Par exemple,
ν
2
(
9
8
)
=
−
3
{\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}
et
ν
3
(
9
8
)
=
2
{\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}
, car
9
8
=
2
−
3
⋅
3
2
{\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}
.
Quelques propriétés sont :
ν
p
(
r
⋅
s
)
=
ν
p
(
r
)
+
ν
p
(
s
)
{\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}
ν
p
(
r
+
s
)
≥
min
{
ν
p
(
r
)
,
ν
p
(
s
)
}
{\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
De plus, si
ν
p
(
r
)
≠
ν
p
(
s
)
{\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}
, alors
ν
p
(
r
+
s
)
=
min
{
ν
p
(
r
)
,
ν
p
(
s
)
}
{\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}
La valeur absolue p -adique (ou norme p -adique,[réf. nécessaire] bien que ce ne soit pas une norme comme dans l'analyse) sur
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
est la fonction
|
⋅
|
p
:
Q
→
R
≥
0
r
⟼
p
−
ν
p
(
r
)
{\displaystyle |\cdot |_{p}\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\r\longmapsto p^{-\nu _{p}(r)}\end{matrix}}}
Et
|
0
|
p
=
p
−
∞
:=
0
,
∀
p
∈
P
{\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }:=0,\forall p\in \mathbb {P} }
.
Par exemple,
|
−
12
|
2
=
2
−
2
=
1
4
{\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}
et
|
9
8
|
2
=
2
−
(
−
3
)
=
8.
{\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}
La valeur absolue p -adique satisfait les propriétés suivantes :
Non-negativity
|
r
|
p
≥
0
{\displaystyle |r|_{p}\geq 0}
Définit positivement
|
r
|
p
=
0
⟺
r
=
0
{\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}
Multiplicatif
|
r
s
|
p
=
|
r
|
p
|
s
|
p
{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
Non Archimédien
|
r
+
s
|
p
≤
max
(
|
r
|
p
,
|
s
|
p
)
{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
Comme c'est multiplicatif (
|
r
s
|
p
=
|
r
|
p
|
s
|
p
{\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}
) on a que
|
1
|
p
=
1
=
|
−
1
|
p
{\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}
les racines de l'unité
1
{\displaystyle 1}
et
−
1
{\displaystyle -1}
et donc on a aussi que
|
−
r
|
p
=
|
r
|
p
.
{\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}
La sous-additivité
|
r
+
s
|
p
≤
|
r
|
p
+
|
s
|
p
{\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}
découle de l'inégalité du triangle non archimédien
|
r
+
s
|
p
≤
max
(
|
r
|
p
,
|
s
|
p
)
{\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}
.
Le choix de la base p dans l'exponentiation
p
−
ν
p
(
r
)
{\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}
n'affecte pas la plupart des propriétés, mais garde la formule du produit :
∏
0
,
p
|
r
|
p
=
1
{\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}
où le produit est pris en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée
|
r
|
0
{\displaystyle |r|_{0}}
. Cela découle simplement de la factorisation en nombre premier : chaque facteur
p
k
{\displaystyle p^{k}}
s'annule avec son réciproque la valeur absolue p -adique, puis la valeur absolue archimédienne habituelle les annule toutes.
Un espace métrique peut être formé sur l'ensemble
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
avec une métrique ( non archimédienne , invariante par translation )
d
:
Q
×
Q
→
R
≥
0
(
r
,
s
)
⟼
d
(
r
,
s
)
=
|
r
−
s
|
p
{\displaystyle d\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}}
L'extention a
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
par rapport à cette métrique conduit à l'ensemble
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
de nombres p -adiques.
↑
↑ K. Ireland et M. Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , New York, Springer-Verlag, 2000 , p. 3 [ISBN souhaité]
↑ Ivan Niven , Herbert S. Zuckerman et Hugh L. Montgomery , An Introduction to the Theory of Numbers , 5th, 1991 (ISBN 0-471-62546-9 ) , p. 4
↑ avec une relation d'ordre usuelle
↑ A. Khrennikov et M. Nilsson , p -adic Deterministic and Random Dynamics , Kluwer Academic Publishers, 2004 , p. 9