Nombre multicomplexe (Segre)
En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2n sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.
Définition[modifier | modifier le code]
Par récurrence[modifier | modifier le code]
Les algèbres multicomplexes ℂn se construisent par récurrence, en posant ℂ0 = ℝ comme initialisation.
En supposant l’algèbre ℂn−1|n ≥ 1 déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire in ∉ ℂn−1 vérifiant i2
n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i1, …, in−1 : on définit alors ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12}.
Directe[modifier | modifier le code]
Pour n ≥ 1, 1 et in commutent avec tout nombre de ℂn−1, et Vect(1,in) ∉ ℂn−1 (car in ∉ ℂn−1).
La relation ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ Vect(1,in).
En outre, puisque i2
n = −1, on a Vect(1,in) ≅ ℂ, d’où ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ ℂ.
ℝ étant l’élément neutre de ⊗ℝ, et donc son produit vide, on a donc :
Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]
- Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et ℂ0 = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂn est de dimension 2n sur ℝ.
- Chaque ℂn est une algèbre de Banach.
- Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂn possède des diviseurs de zéro :
- pour a ≠ b, on a ia−ib ≠ 0, ia+ib ≠ 0 et (ia−ib)(ia+ib) = i2
a−i2
b = 0 ; - pour a ≠ b, on a iaib−1 ≠ 0, iaib+1 ≠ 0 et (iaib−1)(iaib+1) = i2
ai2
b−1 = 0.
- pour a ≠ b, on a ia−ib ≠ 0, ia+ib ≠ 0 et (ia−ib)(ia+ib) = i2
Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury[modifier | modifier le code]
- ℂn ≅ 𝓜ℂ2n.
Sous-algèbres[modifier | modifier le code]
- Pour n ≥ 1, ℂ0, …, ℂn−1 sont des sous-algèbres de ℂn.
- Pour k ≤ n, ℂn est de dimension 2n−k sur ℂk.
- Pour n ≥ 1, chaque unité ik vérifie i2
k = −1, donc ℂn contient n copies du plan complexe. - Pour n ≥ 2 et a ≠ b, chaque nombre ja,b = iaib = ibia vérifie ja,b2 = 1, donc ℂn contient n(n−1)2 copies du plan des complexes déployés.
Cas particuliers[modifier | modifier le code]
Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :
- ℂ0 : nombre réel (ℝ) ;
- ℂ1 : nombre complexe (ℂ) ;
- ℂ2 : nombre bicomplexe ;
- ℂ3 : nombre tricomplexe.
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- (it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
- (en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.