Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz[1], énonce que pour tout nombre irrationnel , il existe une infinité de rationnels tels que
Précisions[modifier | modifier le code]
- L'hypothèse d'irrationalité de est indispensable, puisque la mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1.
- L'ensemble des couples vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels et sont premiers entre eux l'est.
- Les rationnels qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
- La constante √5 est optimale : pour égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels . En ce sens, le nombre d'or est — de même que tout nombre qui lui est équivalent — « l' »irrationnel qui s'approche le plus mal par des fractions. C'est pourquoi l'on parle parfois de lui comme du plus irrationnel de tous les irrationnels[2].
Démonstration[modifier | modifier le code]
- Optimalité de la constante √5.
Prenons avec et . Si , alors, on souhaite avoir . En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve.Si l'on considère comme un polynôme en , on a , mais, comme et sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour . Donc .,soit encore , ce qui donne un nombre fini de solutions pour . Comme doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.
- Démonstration du théorème proprement dit.
Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec et deux termes consécutifs tels que . On peut vérifier que :
- soit
- soit
- Si , on a ou . On peut montrer que , d'où
- .
- Mais d'un autre côté, , ce qui termine l'ébauche de démonstration[3].
- Une autre approche consiste à montrer[4] que dans le développement en fraction continue d'un irrationnel, sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie l'inégalité annoncée.
Généralisations[modifier | modifier le code]
Pour les irrationnels équivalents au nombre d'or, appelés irrationnels nobles, et pour eux seuls, la constante ne peut être améliorée. Si on les exclut, on a un théorème analogue avec la constante , qui est optimale pour les nombres équivalents à . Si on les exclut à leur tour, une nouvelle constante apparait (valant ) ; la suite de ces constantes, appelées « nombres de Lagrange », est la partie initiale du « spectre de Lagrange ».
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (de) Adolf Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », Mathematische Annalen, vol. 39, no 2, , p. 279-284 (lire en ligne).
- (en) The most irrational number, billet de Tony Phillips (université Stony Brook) sur le site de l'AMS.
- (en) William J. LeVeque, Topics in Number Theory, Addison-Wesley, (lire en ligne).
- (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], théorème 195, p. 210-211 de l'édition de 2008, aperçu sur Google Livres.
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Articles connexes[modifier | modifier le code]
- Nombres équivalents
- Théorème d'approximation de Dirichlet
- Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
Liens externes[modifier | modifier le code]
- Démonstration du théorème de Hurwitz, à partir des propriétés des suites de Farey, sur le site mathwebs.com
- (en) Bernd Otto Stratmann, « Elementary Diophantine Approximation », sur Université de Brême